基本计数原理 | Basic Principle of Counting

核心概念

• 组合分析 (Combinatorial Analysis)：研究计数的数学理论
• 基本计数原理：若实验1有$m$种结果，对实验1的每个结果，实验2都有$n$种结果，则两个实验共有$m \times n$种组合结果
• 推广计数原理：若有$r$个连续实验，各实验可能结果数分别为$n_1, n_2,...,n_r$，则总可能结果数为：

$$  n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_r  $$

应用示例

例1（电话号码组合）：

• 某地区电话号码格式为：区号3位 + 局号3位 + 用户号4位
• 计算可能的号码总数： $10^3 \times 10^3 \times 10^4 = 10^{10}$

学习建议：将复杂问题分解为多个独立步骤，使用乘法原理逐步计算。

排列 | Permutations

基本公式

• 阶乘 (Factorial)：

$$ n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1

$$

  特殊规定：$0! = 1! = 1$

• 全排列：$n$个不同元素的排列方式数为：

$$ P(n) = n! $$

• 含重复元素的排列：当存在$n_1$个相同元素，$n_2$个另一类相同元素等时：