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1. 线性代数基础

1.1 线性方程组的历史发展

线性方程组（Linear Systems）的研究可追溯至：

• 公元前200年：《九章算术》首次记载三元一次方程组的解法
• 1693年：莱布尼茨（Leibniz）提出行列式（Determinant）概念
• 1750年：克拉默（Cramer）提出克拉默法则（Cramer's Rule）
• 1800年：高斯（Gauss）系统化提出高斯消元法（Gaussian Elimination）

1.2 几何视角下的线性方程组

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \quad (\text{二维直线}) \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \quad (\text{三维平面}) \\ a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = b \quad (\text{n维超平面}) \end{cases} $$

关键观察：方程组的解对应几何对象的交集（如直线的交点、平面的交线等）。

2. 矩阵的行阶梯形

2.1 行阶梯形（Row-Echelon Form, REF）

定义：矩阵满足：

1. 全零行位于底部
2. 非零行的首个非零元素（主元）严格右移

示例：

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \quad (\text{REF}) $$