1. 概率基础概念

1.1 概率的定义

• 事件概率 (Probability of an event)：实验重复多次时事件发生的极限相对频率 \lim_{r \to \infty} \frac{\text{事件发生次数}}{r}
• 随机变量 (Random Variable, RV)：生成数值结果的机制，例如 $X$
• 实现值 (Realisation)：随机变量的具体观测结果，例如 $X=5$ 时，$x=5$ 是常数

2. 期望与方差

2.1 期望 (Expectation)

离散型（质量函数）： E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i 连续型（密度函数）： E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx

函数期望：对任意函数 $h(X)$，

离散型：E\{h(X)\} = \sum_{i=1}^n h(x_i) p_i

连续型：E\{h(X)\} = \int_{-\infty}^{\infty} h(x) f(x) dx

例子：

掷骰子的期望值计算

E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \dots + 6 \cdot \frac{1}{6} = 3.5

2.2 方差 (Variance)

定义：

\text{var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right], \quad \mu = E(X)

标准差 (Standard Deviation)：