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代数工具

基本不等式

三角不等式：

$$ |a + b| \leq |a| + |b| \quad \forall a,b \in \mathbb{R} $$

几何解释：

在数轴上，两数之和的绝对值不超过各自绝对值的和。当a和b同号时取等号。

例子：

验证当a=3, b=-2时：

$|3 + (-2)| = 1 \leq 5 = |3| + |-2|$

二项式定理

定理表达式： $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$

其中组合数： $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

记忆技巧：

各项次数之和恒为n，系数符合杨辉三角排列

例子：

展开$(x + y)^3$： $x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

因式分解技巧

高次多项式分解