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矩阵与基本运算

矩阵定义（Matrix Definition）

矩阵是矩形排列的数表，记作 $A = (a_{ij})_{m×n}$。当 $m=n=1$ 时，矩阵退化为标量。

• 符号说明：$R^{m×n}$ 表示所有 $m×n$ 实矩阵的集合
• 特殊矩阵：
  • 零矩阵 $O_{m×n}$：所有元素为 0
  • 单位矩阵 $I_n$：主对角线为 1，其余为 0

矩阵运算

加法与标量乘法

$$  A + B = (a_{ij} + b_{ij}){m×n}, \quad \lambda A = (\lambda a{ij})_{m×n}  $$

例：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \\ A+B = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}, \quad 2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$

矩阵乘法

$$  C = AB \quad \text{其中} \quad c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}  $$

关键点：

• 仅当左矩阵列数 = 右矩阵行数时可乘
• 不满足交换律：$AB \neq BA$ 一般情况下

例：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \\ AB = \begin{pmatrix} 1×5+2×7 & 1×6+2×8 \\ 3×5+4×7 & 3×6+4×8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

行列式与逆矩阵