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一、参数估计基础概念

1.1 什么是参数？

参数是描述数据集或概率分布的统计量。例如：

• 正态分布由均值μ和标准差σ参数化
• 时间序列中常用的参数包括移动平均、相关系数、夏普比率等

关键公式——正态分布概率密度函数：

$$ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$

这个函数各部分的含义是：

1. $\mu$：均值参数，决定了分布的中心位置
2. $\sigma$：标准差参数，控制分布的宽度或分散程度
3. $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$：归一化系数，确保概率密度函数的总积分为1
4. $e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$：指数部分，决定了钟形曲线的形状

当$x$接近$\mu$时，指数部分接近1，密度达到最大值；随着$x$远离$\mu$，概率密度迅速下降。较大的$\sigma$值会使曲线更平坦宽广，较小的$\sigma$值则使曲线更高且集中。

正态分布有"68-95-99.7"规则：约68%的数据在$\mu±\sigma$范围内，约95%在$\mu±2\sigma$范围内，约99.7%在$\mu±3\sigma$范围内。

1.2 估计的本质

所有参数估计都存在不确定性：

• 样本均值是真实均值μ的估计

  $$ \hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum x_i $$