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一、参数估计基础概念

1.1 什么是参数？

参数是描述数据集或概率分布的统计量。例如：

• 正态分布由均值μ和标准差σ参数化
• 时间序列中常用的参数包括移动平均、相关系数、夏普比率等

关键公式：

正态分布概率密度函数：

$$ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$

1.2 估计的本质

所有参数估计都存在不确定性：

• 样本均值 μ^​=n1​∑xi​ 是真实均值μ的估计

  $$ \hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum x_i $$

• 估计值会随样本变化而波动

• 需通过标准误差/置信区间评估估计质量

二、参数稳定性分析

2.1 正态分布案例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(123)
normal_data = np.random.randn(500)

# 不同样本量的均值估计
print(f"10样本均值: {np.mean(normal_data[:10]):.2f}")
print(f"250样本均值: {np.mean(normal_data[:250]):.2f}")

# 绘制累积分布直方图
plt.hist([normal_data[:10], normal_data[:100], normal_data],
         bins=30, stacked=True, density=True)
plt.xlabel('Value')
plt.ylabel('Frequency Density')

2.2 非正态分布挑战

双峰分布示例：

def generate_bimodal(n):
    choice = np.random.binomial(1, 0.5, n)
    return np.where(choice, np.random.normal(5,1,n),
                    np.random.normal(-5,1,n))

bimodal_data = generate_bimodal(1000)

# Jarque-Bera正态性检验
from statsmodels.stats.stattools import jarque_bera
jb_value, pvalue = jarque_bera(bimodal_data)[:2]
print(f"P值: {pvalue:.4f}")  # 通常<0.05拒绝正态假设