Stochastic Calculus for Finance I - The Binomial Asset Pricing Model
课程概述
本课程系统讲解金融衍生品定价的数学基础，以二叉树模型为核心工具，逐步构建Black-Scholes-Merton（BSM）期权定价理论的离散时间框架。课程内容强调数学严谨性，涵盖离散概率、鞅理论、随机过程等核心概念，为后续连续时间模型的学习奠定基础。适合具备微积分、概率论基础的本科生或研究生。
课程核心模块
- 金融衍生品导论
- 期货、远期与期权合约的结构与区别
- 期权类型（欧式、美式）及市场功能解析
- 二叉树无套利定价模型
- 单周期与多周期定价模型的构建
- 风险中性测度的推导与应用
- 美式期权提前行权的动态规划解法
- 离散概率与随机过程
- 条件期望、σ-代数与测度变换
- 鞅的定义及其在定价中的应用
- 马尔可夫过程的性质与资产价格建模
- 资本资产定价模型（CAPM）
- 二叉树框架下的系统性风险度量
- 风险溢价与市场组合的离散化表达
- 利率衍生品定价
- 带随机利率的债券期权定价
- 利率期限结构的离散建模方法
- 扩展应用与数值方法
- 随机游走模型与资产价格路径模拟
- 最小二乘蒙特卡洛（LSM）方法初探
教材与学习资源
- 主教材：
Steven E. Shreve, Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model（Springer, 2004）
- 特点：以严谨数学语言构建定价理论，提供大量证明与习题
- 辅助材料：
- 课程讲义（含离散随机积分推导细节）
- Quantopian平台实战代码案例（如美式期权定价Python实现）
课程进度安排
| 周次 |
主题 |
重点内容 |
| 1-2 |
衍生品基础与二叉树模型引入 |
远期合约盈亏分析、单步二叉树定价公式推导 |
| 3-4 |
多期模型与测度变换 |
自融资策略、Fundamental Theorem of Asset Pricing |
| 5-6 |
美式期权与最优停时问题 |
Snell包络、向后归纳法 |
| 7-8 |
随机过程理论 |
马尔可夫性检验、离散鞅的Doob分解 |
| 9-10 |
CAPM与投资组合优化 |
均值-方差前沿、Sharpe比率的离散形式 |
| 11-12 |
利率模型与课程综合应用 |
Ho-Lee模型离散化、带利率衍生品定价实战 |
考核与评估体系