1. 样本空间与事件 (Sample Space and Events)

1.1 基本定义

• 样本空间 (Sample Space): 实验所有可能结果的集合，记作 $S$ 例：抛骰子 $S = \{1,2,3,4,5,6\}$
• 事件 (Event): 样本空间的任意子集 例：抛骰子出现偶数 $E = \{2,4,6\}$

1.2 集合运算

• 并集 (Union): $E \cup F$包含属于 $E$ 或 $F$ 的结果 $例：E=\{1,2\}, F=\{2,3\} ⇒ E \cup F = \{1,2,3\}$
• 交集 (Intersection): $E \cap F$ 或 $EF$ 包含同时属于 $E$ 和 $F$ 的结果 $例：E \cap F = \{2\}$
• 补集 (Complement): $E^c$ 包含不属于 $E$ 的结果 $例：E=\{2,4,6\} ⇒ E^c = \{1,3,5\}$
• 子集 (Subset): $E \subset F$ 表示 $E$ 的所有结果都在 $F$ 中 $例：E=\{2\}, F=\{2,4\} ⇒ E \subset F$

学习建议：用韦恩图辅助理解集合关系

2. 德摩根定律 (De Morgan's Laws)

2.1 第一定律

$$ \left( \bigcup_{i=1}^n E_i \right)^c = \bigcap_{i=1}^n E_i^c  $$

证明：

(i) 左式包含于右式：

取 $x \in \left( \bigcup_{i=1}^n E_i \right)^c$

⇒ $x \notin \bigcup_{i=1}^n E_i$

⇒ $x \notin E_1$ 且 $x \notin E_2$ ... 且 $x \notin E_n$

⇒ $x \in E_1^c$ 且 $x \in E_2^c$ ... 且 $x \in E_n^c$

⇒ $x \in \bigcap_{i=1}^n E_i^c$