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1. 极限的严格定义

1.1 ε-δ 定义

设函数$f$ 在包含点 $a$ 的某个开区间内有定义（可能在 $a$ 处无定义），当 $x$ 趋近于 $a$ 时 $f(x)$ 的极限为 $L$，记作：

$$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$

如果对于任意 $\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得当：

$$ 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon  $$

非正式解释：

• $0 < |x - a| < \delta$ 表示 $x$ 接近但不等于 $a$
• $|f(x) - L| < \varepsilon$ 表示 $f(x)$ 可以任意接近 $L$

金融案例：

连续复利公式 $A = Pe^{rt}$的推导过程中，需计算极限：

$$ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} = e^{rt}  $$

1.2 基础例题

计算：

$$ \lim_{x \to 3} (2x + 1) $$

解：

当 $x$ 接近 3 时，直接代入得：

$$ 2(3) + 1 = 7 $$