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1. 极限基础与金融应用

1.1 极限的直观理解

在金融数学中，极限概念（Limit）是刻画变量趋近某个值时函数行为的基础工具。当我们分析利率变化、连续复利、期权定价等问题时，极限理论提供了必要的数学框架。

极限的一般形式：

$$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$

这表示当变量 $x$ 无限接近（但不等于）$a$ 时，函数 $f(x)$ 无限接近值 $L$。

金融案例：考虑连续复利中的基本极限：

$$ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^n = e^r  $$

这一极限解释了为什么连续复利的计算公式中会出现自然指数 $e$。

1.2 ε-δ 定义

极限的严格定义如下：

$$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$

当且仅当对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，有 $|f(x) - L| < \varepsilon$。

直观解释：

• $\varepsilon$ 表示函数值 $f(x)$ 与极限 $L$ 的允许误差
• $\delta$ 表示自变量 $x$ 与 $a$ 的距离阈值
• 无论误差要求多么严格（$\varepsilon$ 多么小），总能找到一个足够小的 $\delta$，使得当 $x$ 在 $a$ 附近时，$f(x)$能落在 $L$ 附近

学习建议：初学者不必过分纠结于 ε-δ 的严格证明，先建立直观理解，随着学习深入再逐步掌握严格定义。