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均方误差（Mean Square Error, MSE）

基本定义与性质

对于随机变量 $( Y )$，其均方误差定义为：

$$ MSE = E[(Y - c)^2] $$

• 预测值选择：当用常数 $( c )$ 预测 $( Y )$ 时：
  • $( MSE = \text{var}(Y) + [E(Y) - c]^2 )$
  • 最小化条件：当 $( c = E(Y) )$ 时，$( \min MSE = \text{var}(Y) )$

条件期望下的MSE

若 $( Y )$ 与另一随机变量 $( X )$ 相关：

$$ MSE = \text{var}(Y|X) + [E(Y|X) - c]^2  $$

• 条件MSE：$( MSE = E[(Y - c)^2 | X] )$
• 最优预测：当 $( c = E(Y|X) )$ 时，$( \min MSE = \text{var}(Y|X) )$
• 对比：若错误地使用 $( c = E(Y) )$，MSE会增加 $( [E(Y|X) - E(Y)]^2 )$

例子

假设 ( Y ) 表示股票收益率，( X ) 为市场指数。若已知 $( E(Y|X=10\%) = 8\% )$，则用 $( c=8\% )$ 预测的误差最小。

条件期望的随机性（Random Conditional Expectations）

条件期望的性质

设 $( X, Y )$ 为随机变量：

1. $( E[Y|X] )$ 是随机变量，取值为 $( E[Y|x] )$（概率由 ( X ) 的分布决定）