概率第3讲：条件概率与独立性 | Conditional Probability and Independence

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嗯，用户需要我帮忙整理一份关于金融数学的讲义，特别是第三讲的条件概率与独立性。首先，我需要仔细看看用户提供的材料，里面已经有一些内容，比如条件概率的定义、乘法规则、全概率公式、贝叶斯定理和独立事件等内容。用户希望这份讲义是新人友好的，循序渐进，有必要的推导过程，还要有难度适中的例子和学习建议。同时，需要生成符合Notion规范的KaTeX公式，用.........包裹，结构上使用最多三层标题，并且关键术语要给出英文对照。

首先，我需要确认用户提供的材料是否有遗漏或者需要补充的地方。例如，在条件概率部分，用户提到了N1到N4的要点，可能需要将这些内容更连贯地组织起来，加入例子。比如，用户提到的E6中的瓮问题，可能需要转化为具体的例子。此外，贝叶斯定理的应用部分提到了疾病测试的例子，这可以作为实例来详细说明。

接下来，独立事件的定义和性质需要分点说明，并给出相应的例子，比如抛硬币或掷骰子的例子，帮助读者理解独立性的概念。用户提到的N6和N7部分可能需要更详细的解释，比如当两个事件分别独立时，它们的组合是否独立，以及独立试验中的概率计算，比如在多次试验中成功次数的计算。

另外，用户提到的递归方法解决概率问题（见第85页），但材料中没有详细说明，可能需要进一步询问用户是否需要包含这部分内容，或者是否有其他补充材料。不过根据现有信息，可能暂时不需要深入递归方法，保持现有内容的完整性即可。

在组织结构上，按照用户的要求，主标题用#，子标题用##和###。需要将条件概率、全概率与贝叶斯定理、独立事件作为主要部分，每个部分下再分小点，比如定义、性质、例子等。

关于公式部分，确保所有的概率公式都用KaTeX正确表示，并用.........包裹。例如，条件概率的公式应该是P(E∣F)=P(E∩F)P(F)P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}P(E∣F)=P(F)P(E∩F)，并检查所有公式是否正确转换。

关键术语需要提供英文对照，比如在提到条件概率时，后面加上（Conditional Probability），独立事件后加（Independent Events）等。这有助于读者熟悉相关英文词汇，尤其是学术文献中常用的术语。

例子方面，用户提供的疾病测试案例可以用来详细说明贝叶斯定理的应用。此外，瓮问题（urns）可以作为条件概率的例子，比如从不同瓮中抽取不同颜色球的概率。还可以考虑掷骰子或扑克牌的例子，来说明独立事件的概念，例如两次独立掷骰子出现特定点数的概率。

学习建议部分，在每个章节结束时，可以给出一些学习技巧，比如建议读者通过画树状图来理解全概率公式，或者通过做练习题巩固独立事件的性质理解。同时，可以提醒常见的误区，比如错误地认为独立事件一定互斥，或者反之。

在检查过程中，需要确保所有定义和定理的准确性，例如条件概率的定义是否正确，乘法规则的表达是否清晰，独立事件的性质是否完整等。此外，例子是否恰当，能否帮助读者理解抽象的概念，是否需要更多的步骤解释。

最后，确保整个讲义的逻辑流畅，从条件概率引入，到全概率和贝叶斯定理，再到独立事件，层层递进，符合循序渐进的要求。每个部分都有推导过程和实例，帮助新人逐步建立知识体系。

# 概率第3讲：条件概率与独立性 | Conditional Probability and Independence

## 1. 条件概率 | Conditional Probability

### 基本定义
对任意事件E和F（要求$P(F) > 0$），条件概率定义为：

P(E|F) = \\frac{P(E \\cap F)}{P(F)}

**几何解释**：将样本空间限制在事件F发生后的子空间，重新计算事件E的概率。

**例**（瓮问题）：
两个瓮中，1号瓮有2白球3黑球，2号瓮有1白球4黑球。随机选择一个瓮后取球：
- 选择1号瓮的概率$P(U_1) = \\frac{1}{2}$
- 从1号瓮取白球的条件概率$P(W|U_1) = \\frac{2}{5}$

### 乘法规则 | Multiplication Rule
对任意事件序列$E_1, E_2,...,E_n$：

P(E_1E_2...E_n) = P(E_1)P(E_2|E_1)P(E_3|E_1E_2)\\cdots P(E_n|E_1E_2...E_{n-1})

**应用案例**：
一副扑克牌连续不放回抽取3张A的概率：

P(A_1A_2A_3) = \\frac{4}{52} \\times \\frac{3}{51} \\times \\frac{2}{50}

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## 2. 全概率与贝叶斯定理 | Total Probability & Bayes' Theorem

### 全概率公式
设$F_1,...,F_n$构成样本空间的分割（即互斥且并集为全集），则：

P(E) = \\sum_{i=1}^n P(E|F_i)P(F_i)

**树状图分析**：

    F₁(0.3)
   / P(E|F₁)=0.8 → E
  /

开始

\ F₂(0.7)

P(E|F₂)=0.4 → E

总概率$P(E) = 0.3\\times0.8 + 0.7\\times0.4 = 0.52$

### 贝叶斯定理 | Bayes' Theorem

P(F_j|E) = \\frac{P(F_j)P(E|F_j)}{\\sum_{i=1}^n P(F_i)P(E|F_i)}

**疾病检测案例**：
- 疾病患病率$P(D) = 0.01$
- 检测准确率：$P(+|D) = 0.95$，$P(+|¬D) = 0.05$
- 阳性时真患病的概率：

P(D|+) = \\frac{0.01\\times0.95}{0.01\\times0.95 + 0.99\\times0.05} \\approx 16.1\\%

3. 独立事件 | Independent Events

独立性定义

两个事件独立当且仅当：

P(E∩F)=P(E)P(F)P(E \cap F) = P(E)P(F)P(E∩F)=P(E)P(F)

等价于：

P(E∣F)=P(E)(当P(F)>0时)P(E|F) = P(E) \quad (当P(F) > 0时)P(E∣F)=P(E)(当P(F)>0时)

独立性性质

传递性：若E与F独立，则E与Fc也独立

FcF^c
三事件独立：需满足：

{P(EF)=P(E)P(F)P(EG)=P(E)P(G)P(FG)=P(F)P(G)P(EFG)=P(E)P(F)P(G)\begin{cases} P(EF) = P(E)P(F) \\ P(EG) = P(E)P(G) \\ P(FG) = P(F)P(G) \\ P(EFG) = P(E)P(F)P(G) \end{cases}⎩⎨⎧P(EF)=P(E)P(F)P(EG)=P(E)P(G)P(FG)=P(F)P(G)P(EFG)=P(E)P(F)P(G)
注意误区：两两独立 ≠ 相互独立

典型案例：