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1. 条件概率 | Conditional Probability

基本定义

对任意事件E和F（要求$P(F) > 0$），条件概率定义为：

$$ P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} $$

几何解释：将样本空间限制在事件F发生后的子空间，重新计算事件E的概率。

例（瓮问题）： 两个瓮中，1号瓮有2白球3黑球，2号瓮有1白球4黑球。随机选择一个瓮后取球：

• 选择1号瓮的概率 $P(U_1) = \frac{1}{2}$
• 从1号瓮取白球的条件概率 $P(W|U_1) = \frac{2}{5}$

乘法规则 | Multiplication Rule

对任意事件序列$E_1, E_2,...,E_n$：

$$ P(E_1E_2...E_n) = P(E_1)P(E_2|E_1)P(E_3|E_1E_2)\cdots P(E_n|E_1E_2...E_{n-1})  $$

应用案例： 一副扑克牌连续不放回抽取3张A的概率：

$$ P(A_1A_2A_3) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} \times \frac{2}{50}  $$

2. 全概率与贝叶斯定理 | Total Probability & Bayes' Theorem

全概率公式

设$F_1,...,F_n$构成样本空间的分割（即互斥且并集为全集），则：

$$ P(E) = \sum_{i=1}^n P(E|F_i)P(F_i) $$