<aside> 💡

查看全集：微积分/Calculus

</aside>

连续性是微积分的核心概念之一，对于金融数学中的资产定价模型、风险分析以及各类金融函数的建模都至关重要。本讲义将帮助你理解函数连续性的基本概念、判断方法和重要应用。

1. 连续性和区间连续性

1.1 点连续性（Point Continuity）

函数 $f$ 在点 $a$ 处连续当且仅当：

$$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

需要满足三个条件：

1. $f(a)$ 存在（在 $a$ 处有定义）
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在
3. 极限值等于函数值

例题：

证明 $f(x) = x^2$ 在 $x=3$处连续：

$$ \lim_{x \to 3} x^2 = 9 = f(3) $$

函数在 $x=3$ 处有定义，极限存在且等于函数值，因此连续。

1.2 单侧连续性（One-sided Continuity）

右连续：

$$ \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) $$

左连续：

$$ \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) $$