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1. 连续性的定义

1.1 点连续性

函数 $f$ 在点 $a$ 处连续当且仅当：

$$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

需要满足三个条件：

1. $f(a)$ 存在（在 $a$ 处有定义）
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在
3. 极限值等于函数值

例题：

证明 $f(x) = x^2$ 在 $x=3$处连续：

$$ \lim_{x \to 3} x^2 = 9 = f(3) $$

1.2 单侧连续性

右连续：

$$ \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) $$

左连续：

$$ \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) $$

完全连续需要同时满足左、右连续

2. 区间连续性

2.1 开区间