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一、行列式的三种定义

1.1 拉普拉斯展开式（Laplace Expansion）

定义：设 $A = (a_{ij})$ 为 $n \times n$ 矩阵，$M_{ij}$ 表示删除第 $i$行第 $j$ 列后的 $(n-1) \times (n-1)$ 子矩阵。

余因子 (Cofactor)：

$$ A_{ij} = (-1)^{i+j} \det(M_{ij}) $$

行列式定义：

$$ \det(A) = \begin{cases} a_{11} & \text{若 } n=1 \\ \sum_{j=1}^n a_{1j} A_{1j} & \text{若 } n \geq 2 \end{cases} $$

例：计算 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的行列式：

$\det(A) = 2 \cdot (-1)^{1+1} \det(4) - 1 \cdot (-1)^{1+2} \det(3) = 2 \cdot 4 - 1 \cdot 3 = 5$

1.2 莱布尼茨公式（Leibniz Formula）

排列与符号 (Permutations and Signatures)

• 排列 $\sigma \in S_n$：$\{1,2,\dots,n\}$ 的双射
• 反序数 (Inversions)：满足 $i < j$ 但 $\sigma(i) > \sigma(j)$ 的对数
• 符号函数：$\operatorname{sgn}(\sigma) = (-1)^{\text{反序数}}$

行列式定义：

$$ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}  $$

例：$n=2$ 时，所有排列为 $\sigma_1 = (1,2)$（偶排列，符号+1）和 $\sigma_2 = (2,1)$（奇排列，符号-1）：

$$ \det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} $$