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基本概念

总体参数与样本统计量

设总体$N$中变量$v$的：

$$ \mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N v_i \quad (\text{总体均值}) \\ \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (v_i - \mu)^2 \quad (\text{总体方差}) $$

• 参数(Parameters) $\mu$, $\sigma^2$是未知常数
• 简单随机样本(Simple Random Sample)用于估计参数：从总体中不放回随机抽取个体

二元变量特例：

当变量$v$是二元变量（取0/1值），设总体比例为$p$，则有：

$$ \mu = p,\quad \sigma^2 = p(1-p) $$

抽样分布特性

单次抽样：

设$X$为抽取的观测值，则：

$$ E(X) = \mu,\quad \text{var}(X) = \sigma^2  $$

有放回抽样：

对容量$n$的样本$X_1,...,X_n$：

$$ \text{样本均值} \ \overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \\ E(\overline{X}) = \mu,\quad \text{var}(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n} $$

实例分析：

从股票收益率总体中抽取10天收益率数据（单位：%）： 0.8, 1.2, -0.5, 2.1, 1.5, 0.3, -0.2, 1.8, 0.9, 1.1