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1. 导数的定义与几何意义

1.1 导数的定义

设函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$a$处取得增量$h$时，若极限

$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$

存在，则称$f(x)$在点$a$处可导，该极限值称为$f(x)$在$a$处的导数。记作：

$$ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=a} = f'(a) = D_x f(a)

$$

学习建议：通过物理中的瞬时速度（位移变化率）和几何中的切线斜率理解导数概念。

1.2 切线方程

函数$y=f(x)$在点$(a, f(a))$处的切线方程为：

$$ y = f'(a)(x - a) + f(a) $$

示例：求$f(x)=x^2$在$x=1$处的切线方程

解：计算得$f'(1)=2$，故切线方程为：

$$ y = 2(x-1) + 1 = 2x -1 $$

1.3 可导性与连续性

重要关系：

• 可导⇒连续（但连续不一定可导）
• 不可导的典型情况：尖点、垂直切线、间断点

反例：$f(x)=|x|$在$x=0$处连续但不可导