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导数是金融数学的核心工具之一，它能帮助我们分析资产价格变化率、边际收益、风险敏感度等关键指标。本讲将系统介绍导数的概念及应用方法。
设函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$a$处取得增量$h$时，若极限
$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$
存在，则称$f(x)$在点$a$处可导，该极限值称为$f(x)$在$a$处的导数。记作：
$$ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=a} = f'(a) = D_x f(a)
$$
等价定义：导数也可表示为
$$ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}
$$
物理意义：描述瞬时变化率，如瞬时速度、加速度等 几何意义：表示曲线在该点的切线斜率
函数$y=f(x)$在点$(a, f(a))$处的切线方程为：
$$ y = f'(a)(x - a) + f(a) $$
示例：求 $f(x)=x^2$ 在 $x=1$ 处的切线方程
解：首先计算导数 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0}(2x + h) = 2x$
所以 $f'(1) = 2$，故切线方程为： $y = 2(x-1) + 1 = 2x -1$