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4.1 基本概念

4.1.1 n维向量与欧几里得空间

n维向量（n-vector）定义为：

$$  \mathbf{u} = (u_1, u_2,...,u_n),\ u_i \in \mathbb{R}   $$

所有n维实向量构成的集合称为欧几里得n维空间（Euclidean n-space），记作：

$$  \mathbb{R}^n = \{ (u_1,...,u_n) \ | \ u_i \in \mathbb{R} \}  $$

4.1.2 集合表示方法

对于$\mathbb{R}^n$的子集，有两种表示方式：

隐式表示（Implicit form）：

$$  \{ (x_1,...,x_n) \ | \ a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = b \}  $$

显式表示（Explicit form）：

$$  \{ \mathbf{p} + t_1\mathbf{v}_1 + \cdots + t_k\mathbf{v}_k \ | \ t_i \in \mathbb{R} \}  $$

示例1（三维空间平面）：

• 隐式：$ax + by + cz = d$
• 显式：$\left( \frac{d - s - t}{a}, s, t \right),\ s,t \in \mathbb{R}$

4.2 子空间（Subspace）

4.2.1 核心定义

子空间$V \subset \mathbb{R}^n$必须满足：