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1. 基本概念

1.1 定义

随机变量(Random Variable)是定义在样本空间上的实值函数，记作$X: \Omega \to \mathbb{R}$

关键特性：

• 离散型随机变量(Discrete Random Variable)：取值集合可数
• 连续型随机变量(Continuous Random Variable)：取值不可数

1.2 概率质量函数 (Probability Mass Function, PMF)

对离散型随机变量$X$，定义：

$$ p(a) = P(X = a) $$

满足：

$$ \sum_{i=1}^{\infty} p(x_i) = 1 \quad \text{且} \quad p(x_i) \geq 0  $$

示例：

2. 常见离散分布

2.1 伯努利分布 (Bernoulli Distribution)

定义：

$$ X \sim \text{Bernoulli}(p) \Rightarrow p(x) = \begin{cases} p, & x=1 \ (\text{成功}) \\ 1-p, & x=0 \ (\text{失败}) \end{cases} $$