1. 基本概念

1.1 定义

随机变量(Random Variable)是定义在样本空间上的实值函数，记作$X: \Omega \to \mathbb{R}$

关键特性：

• 离散型随机变量(Discrete Random Variable)：取值集合可数
• 连续型随机变量(Continuous Random Variable)：取值不可数

1.2 概率质量函数 (Probability Mass Function, PMF)

对离散型随机变量$X$，定义：

p(a) = P(X = a)

满足：

\sum_{i=1}^{\infty} p(x_i) = 1 \quad \text{且} \quad p(x_i) \geq 0

示例：

2. 常见离散分布

2.1 伯努利分布 (Bernoulli Distribution)

定义：

X \sim \text{Bernoulli}(p) \Rightarrow p(x) = \begin{cases} p, & x=1 \ (\text{成功}) \\ 1-p, & x=0 \ (\text{失败}) \end{cases}

性质：

• 期望：$E(X) = p$
• 方差：$\text{Var}(X) = p(1-p)$

金融应用：单次投资决策的成功/失败建模

2.2 二项分布 (Binomial Distribution)

定义：

X \sim \text{Binomial}(n,p) \Rightarrow P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

推导： 当$X_1,...,X_n$为独立同分布的伯努利变量时：

X = \sum_{i=1}^n X_i