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1. 函数的极值

1.1 全局极值与局部极值

基本定义：

• 全局最大值 在c点： $f(c) ≥ f(x) \quad 对定义域D中所有x成立$
• 全局最小值 在c点： $f(c) ≤ f(x) \quad 对定义域D中所有x成立$
• 局部最大值 在c点： $f(c) ≥ f(x) \quad 在c点附近的开区间成立$
• 局部最小值 在c点： $f(c) ≤ f(x) \quad 在c点附近的开区间成立$

金融案例：

投资组合收益曲线中的最高点（全局最大）代表最优投资方案，短期波动中的高点（局部最大）可能提示卖出时机。

1.2 极值定理

定理内容：

若函数f在闭区间[a,b]上连续，则：

1. f必定在区间上取得全局最大/最小值
2. 极值点只可能出现在：
   • 临界点（导数为零或不存在的点）
   • 区间端点

临界点判定：

$$  \begin{cases} f'(c) = 0 \quad (驻点) \\ 或 \\ f'(c) \text{ 不存在} \end{cases} $$

示例：

分析函数 $( f(x) = x^3 - 12x )$ 在[-3,5]的极值：