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1. 定义与概率密度函数 | Definition and Probability Density Function (PDF)

1.1 连续随机变量的定义

随机变量$X$是连续型的，如果存在一个非负函数$f(x)$（称为概率密度函数，Probability Density Function, PDF），使得对任意实数集合$B$有：

$$ P(X \in B) = \int_B f(x) dx $$

关键性质：

1. 规范性：$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$
2. 区间概率：$P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$
3. 单点概率：$P(X = a) = 0$（连续变量在单点的概率为0）

1.2 概率密度函数的直观解释

对于极小量$dx$，有：

$$ P(x < X < x + dx) \approx f(x) \cdot dx  $$

即$f(x)$表示$X$在$x$附近单位长度的概率密度。

例1：设$X$的PDF为$f(x) = \frac{1}{b-a}$（当$a \leq x \leq b$），这是均匀分布的概率密度函数。计算$P(a < X < c)$，其中$a < c < b$。

解：

$$ P(a < X < c) = \int_a^c \frac{1}{b-a} dx = \frac{c-a}{b-a}  $$

2. 累积分布函数 | Cumulative Distribution Function (CDF)

2.1 CDF的定义