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1. 线性无关 (Linearly Independent)

1.1 定义

对于集合 $S = \{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_k \} \subset \mathbb{R}^n$，若方程

$$ c_1 \mathbf{u}_1 + c_2 \mathbf{u}_2 + \cdots + c_k \mathbf{u}_k = \mathbf{0} $$

仅有零解 $c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0$，则称 S 为线性无关集。否则称为线性相关集。

关键性质

• 包含零向量的集合必线性相关 若 $\mathbf{0} \in S \subset \mathbb{R}^n$，则 S 线性相关。
• 扩展无关集 若 $\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}k$ 线性无关，且 $\mathbf{u}{k+1}$ 不是它们的线性组合，则扩展后的集合仍线性无关。

1.2 判定方法

几何视角

• 在 $\mathbb{R}^n$ 中：
  • 2个向量线性相关 ⇨ 共线
  • 3个向量线性相关 ⇨ 共面
• 维度限制：若 k > n，则 $\mathbb{R}^n$ 中任意 k 个向量必线性相关。

代数判定

• 线性相关性测试 将向量作为列向量构造矩阵 A，通过行简化判断秩是否小于列数。

例子

判断集合 $S = \{ (1,2), (3,4) \}$ 是否线性无关：

构造方程 $c_1(1,2) + c_2(3,4) = (0,0)$，解得 $c_1 = 0, c_2 = 0$，故线性无关。

2. 基 (Basis)