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基础概念

从点估计到区间估计

设独立同分布随机变量$X_1,...,X_n$服从均值为$\mu$、方差为$\sigma^2$的分布：

• 样本均值 (Sample Mean)：

$$ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i $$

• 样本方差 (Sample Variance)：

$$ s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 $$

• 标准误 (Standard Error, SE)：

$$ SE = \frac{s}{\sqrt{n}} $$

点估计通过$\bar{x} \pm SE$给出估计范围，但无法量化置信程度。区间估计通过构建置信区间 (Confidence Interval) 解决这一缺陷。

核心思想

置信区间满足：

$$ Pr(\mu \in [L,U]) = 1-\alpha $$

其中：

• $L,U$为区间端点
• $1-\alpha$为置信水平 (Confidence Level)
• $\alpha$为显著性水平 (Significance Level)

正态分布下的置信区间