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定积分

1.1 黎曼和定义

设函数 $f$在区间 $[a,b]$上连续。将区间分割为 $n$ 个子区间： $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$ 每个子区间长度 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$，取样本点 $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$，则黎曼和为： $\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$

当最大子区间长度趋于零时，定积分的定义为： $\int_a^b f(x)dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$

学习建议：从几何意义理解当分割无限细化时，矩形面积之和趋近于曲线下的面积。

1.2 几何意义

定积分表示净面积： $\int_a^b f(x)dx = A^+ - A^-$ 其中 $A^+$是 $f(x) \geq 0$ 区域的面积，$A^-$ 是 $f(x) \leq 0$ 区域的面积

例题：

计算 $\int_{-1}^2 (x+1)dx$

解：可分解为两个三角形面积之和，得到 $\frac{9}{2}$

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积分性质

2.1 基本性质

  1. 线性性： $\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx$
  2. 区间可加性： $\int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx$
  3. 比较定理：若 $f(x) \geq g(x)$，则 $\int_a^b f(x)dx \geq \int_a^b g(x)dx$

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2.2 估值定理

若 $m \leq f(x) \leq M$，则： $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)$