1. 联合分布函数 (Joint Distribution Function)

联合累积分布函数用于描述两个随机变量共同的概率行为：

F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y), \quad -\infty < x < \infty, -\infty < y < \infty

1.1 边际分布 (Marginal Distributions)

• X的边际分布：

F_X(x) = \lim_{y \to \infty} F(x, y)

• Y的边际分布：

F_Y(y) = \lim_{x \to \infty} F(x, y)

1.2 重要概率公式

• 联合事件的概率：

  P(X > a, Y > b) = 1 - F_X(a) - F_Y(b) + F(a, b)

  推导提示：利用概率的容斥原理，通过Venn图理解区域重叠

• 矩形区域概率：

  P(a_1 < X \leq a_2, b_1 < Y \leq b_2) = F(a_2, b_2) + F(a_1, b_1) - F(a_1, b_2) - F(a_2, b_1)

2. 联合概率质量函数 (Joint Probability Mass Function)

当X和Y均为离散型随机变量时，联合pmf定义为：

p(i, j) = P(X = i, Y = j)

2.1 边际pmf

• X的边际pmf：

P(X = i) = \sum_j p(i, j)

• Y的边际pmf：

P(Y = j) = \sum_i p(i, j)

例子：二维离散分布

设联合pmf为：

p(i,j) = \begin{cases} 0.2 & (i,j)=(1,1) \\ 0.3 & (i,j)=(1,2) \\ 0.5 & (i,j)=(2,1) \\ 0 & \text{其他} \end{cases}

求X的边际分布：