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1. 向量空间的维度 (Dimension of Vector Spaces)

1.1 基本定理与定义

定理 (基的规模限制定理)

设向量空间 $V$ 有含 $k$ 个向量的基，则：

1. $V$ 中任何含超过 $k$ 个向量的子集必然线性相关
2. $V$ 中任何含少于 $k$ 个向量的子集不可能张成 $V$

定义 (维度)

向量空间 $V$ 的维度 $\dim(V)$ 定义为：

• $V$ 的基所含向量的个数
• 特别地，零空间 $\{\mathbf{0}\}$ 的维度定义为 $0$

定理 (基的判定定理)

设 $V$ 是维度为 $k$ 的向量空间，$S \subseteq V$，则以下等价：

1. $S$ 是 $V$ 的基
2. $S$ 线性无关且 $|S|=k$
3. $S$ 张成 $V$ 且 $|S|=k$

1.2 典型例题

例题 1 判断向量组是否为基

设 $\{u_1, u_2, u_3\}$ 是向量空间 $V$ 的基，判断以下是否构成基：

(a) $v_1=u_1$, $v_2=u_1+u_2$, $v_3=u_1+u_2+u_3$