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特征值与特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）

基本定义

设 A 为 n 阶方阵，若存在非零向量 x ∈ ℝⁿ 和标量 λ ∈ ℝ，使得：

$$  A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}  $$

则称 λ 为 A 的特征值（eigenvalue），x 为对应的特征向量（eigenvector）。

特征方程（Characteristic Equation）

特征值满足方程：

$$  \det(\lambda I - A) = 0  $$

其中 I 为单位矩阵。多项式 $φ(λ) = det(λI - A)$ 称为特征多项式（characteristic polynomial）。

推导过程：

从定义式 $Ax = λx$ 出发，改写为 $(λI - A)x = 0$。由于非零解存在，系数矩阵的行列式必须为零。

例子：

矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征方程为：

$\det\left( \lambda I - A \right) = \det\begin{pmatrix} \lambda-2 & -1 \\ -1 & \lambda-2 \end{pmatrix} = (\lambda-2)^2 - 1 = 0$

解得特征值 $λ₁ = 3, λ₂ = 1$。

代数重数与几何重数（Algebraic and Geometric Multiplicity）

代数重数

特征值 λ 的代数重数（algebraic multiplicity）是其作为特征多项式根的重数。