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一、单射函数与反函数

1.1 单射函数（One-to-One Functions）

设函数 $f$ 的定义域为 $D$，若对任意 $a, b ∈ D$ 满足：

$$ a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b) \\ \text{或等价地} \quad f(a) = f(b) \Rightarrow a = b $$

则称 $f$是单射函数。

学习建议：通过绘制函数图像判断是否通过水平线测试。例如：

• $f(x) = x^3$ 是单射函数
• $f(x) = \sin x$ 在全体实数上不是单射函数

1.2 反函数定义

设$f$ 是单射函数，定义域为 $A$，值域为 $B$，则其反函数$f^{-1}$满足：

• 定义域$B$，值域 $A$
• $f^{-1}(y) = x \iff y = f(x)$
• 满足 $f^{-1}(f(x)) = x$ 且 $f(f^{-1}(y)) = y$

重要性质： $(f^{-1})^{-1} = f$

但注意 $(f(x))^{-1} = \frac{1}{f(x)}$ 是倒数而非反函数

1.3 反函数的导数

若 $f$ 在区间 $I$ 上连续且可导，且 $f'(a) \neq 0$，则反函数在 $b = f(a)$ 处可导：