一、知识回顾 (Recap)
1. 期望的定义
- 离散型随机变量 (Discrete Random Variable):
E(X) = \sum_{x} x \cdot p(x) = \sum_{x} x \cdot P(X = x)
- 连续型随机变量 (Continuous Random Variable):
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
- 非负整数值随机变量 (Non-negative Integer-valued R.V.):
E(Y) = \sum_{i=1}^{\infty} P(Y \geq i)
- 非负随机变量 (Non-negative R.V.):
E(Y) = \int_{0}^{\infty} P(Y > y) \, dy
二、期望的基本性质
1. 函数的期望
对于联合分布函数为 $p(x,y)$ 或 $f(x,y)$ 的随机变量 $X$ 和 $Y$，任意函数 $g(X,Y)$ 的期望：
- 离散情况:
E[g(X,Y)] = \sum_{y} \sum_{x} g(x,y) \cdot p(x,y)
- 连续情况:
E[g(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x,y) \cdot f(x,y) \, dx \, dy
2. 有界性 (Boundedness, N2)
若随机变量 $X$ 满足 $a \leq X \leq b$ 几乎必然成立，则：
a \leq E(X) \leq b
例子：
设 $X$ 表示骰子的点数，取值范围为 $\{1,2,3,4,5,6\}$，则：
1 \leq E(X) = 3.5 \leq 6
3. 线性性 (Linearity, N3)
若 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 存在且有限，则：
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
证明：