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一、知识回顾 (Recap)

1. 期望的定义

• 离散型随机变量 (Discrete Random Variable): $E(X) = \sum_{x} x \cdot p(x) = \sum_{x} x \cdot P(X = x)$
• 连续型随机变量 (Continuous Random Variable): $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx$
• 非负整数值随机变量 (Non-negative Integer-valued R.V.): $E(Y) = \sum_{i=1}^{\infty} P(Y \geq i)$
• 非负随机变量 (Non-negative R.V.): $E(Y) = \int_{0}^{\infty} P(Y > y) \, dy$

二、期望的基本性质

1. 函数的期望

对于联合分布函数为 $p(x,y)$ 或 $f(x,y)$ 的随机变量 $X$ 和 $Y$，任意函数 $g(X,Y)$ 的期望：

• 离散情况:

$$ E[g(X,Y)] = \sum_{y} \sum_{x} g(x,y) \cdot p(x,y) $$

• 连续情况:

$$ E[g(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x,y) \cdot f(x,y) \, dx \, dy $$

2. 有界性 (Boundedness, N2)

若随机变量 $X$ 满足 $a \leq X \leq b$ 几乎必然成立，则：

$$ a \leq E(X) \leq b $$

例子：