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1. 旋转体体积/Volume of Revolution

1.1 圆盘/垫圈法 Disk/Washer Method

基本原理：将旋转体切割成无限薄的圆盘/垫圈，计算单个薄片体积后积分

绕x轴旋转（纵向切割）：

$$ V = π\int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx $$

绕y轴旋转（横向切割）：

$$ V = π\int_{c}^{d} [f^{-1}(y)]^2 dy $$

推导过程：

1. 在位置x处取厚度dx的薄片
2. 薄片半径r = f(x)
3. 单个薄片体积dV = πr²dx
4. 总体积为积分求和

示例：计算y = x²在[0,1]绕x轴的旋转体积

$$ V = π\int_{0}^{1} (x^2)^2 dx = π\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{π}{5} $$

1.2 圆柱壳法 Cylindrical Shells Method

适用场景：当旋转轴与积分变量垂直时更简便

绕y轴旋转（垂直壳层）：