<aside> 💡

查看全集：微积分/Calculus

</aside>

Volume of Revolution

1.1 Disk/Washer Method

基本原理：将旋转体切割成无限薄的圆盘/垫圈，计算单个薄片体积后积分

绕x轴旋转（纵向切割）： $V = π\int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

绕y轴旋转（横向切割）： $V = π\int_{c}^{d} [f^{-1}(y)]^2 dy$

推导过程：

1. 在位置x处取厚度dx的薄片
2. 薄片半径r = f(x)
3. 单个薄片体积dV = πr²dx
4. 总体积为积分求和

示例：计算y = x²在[0,1]绕x轴的旋转体积 $V = π\int_{0}^{1} (x^2)^2 dx = π\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{π}{5}$

1.2 Cylindrical Shells Method

适用场景：当旋转轴与积分变量垂直时更简便

绕x轴旋转（水平壳层）： $V = 2π\int_{c}^{d} y·f^{-1}(y) dy$

绕y轴旋转（垂直壳层）： $V = 2π\int_{a}^{b} x·f(x) dx$

推导过程：

1. 壳层半径 = x（绕y轴时）