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马尔可夫不等式 | Markov's Inequality

定理陈述

对于任意非负随机变量（non-negative random variable）X 和任意 a > 0，有：

$$ P(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a} $$

证明推导

1. 定义指示函数（indicator function）$I = \begin{cases} 1 & \text{if } X \geq a \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
2. 显然有 $I \leq \frac{X}{a}$（当 $X \geq a$ 时，左边为1，右边 ≥1；当 X < a 时，左边为0，右边 ≥0）
3. 取期望：$E[I] \leq E\left[\frac{X}{a}\right]$
4. 左边 $E[I] = P(X \geq a)$，右边 $E\left[\frac{X}{a}\right] = \frac{E[X]}{a}$
5. 综上：$P(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a}$

示例与应用

例子：假设某设备寿命 X（小时）满足 E[X] = 100，用马尔可夫不等式估计 $P(X \geq 500)$ 的上界。

解：

$P(X \geq 500) \leq \frac{100}{500} = 0.2$

学习建议：

• 马尔可夫不等式适用于所有非负随机变量，但不一定给出紧的上界。
• 练习：若 X 服从指数分布 $Exp(\lambda)$，计算真实概率并与马尔可夫不等式的估计比较。