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基本概念（Basic Concepts）

内积与范数（Inner Product and Norm）

对于向量 $u = (u_1, u_2, ..., u_n)$ 和 $v = (v_1, v_2, ..., v_n)$：

• 内积定义为：

$$  u \cdot v = \sum_{i=1}^n u_i v_i  $$

• 范数（长度）定义为：

$$  \|u\| = \sqrt{u \cdot u} = \sqrt{\sum_{i=1}^n u_i^2}  $$

• 单位向量：若 $\|u\| = 1$，则称 $u$ 为单位向量

正交性（Orthogonality）

• 向量正交：若 $u \cdot v = 0$，则称 $u$ 与 $v$ 正交
• 集合正交：集合 $S$ 中任意两个不同向量正交时，称为正交集
• 规范正交基：若正交集的每个向量都是单位向量，则称为规范正交基

几何视角

在 $\mathbb{R}^2$ 中，正交向量满足勾股定理：

$$  \|u + v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 \quad \text{当且仅当} \quad u \perp v  $$

Gram-Schmidt 正交化过程

算法步骤

给定线性无关向量组 $\{u_1, u_2, ..., u_k\}$，构造正交基 $\{v_1, v_2, ..., v_k\}$：