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统计矩：偏度与峰度

1. 偏度（Skewness）

1.1 对称与偏态分布

• 对称分布：以均值为中心，两侧呈镜像分布（如正态分布）。
• 偏态分布：分布不对称，分为正偏态（右偏）和负偏态（左偏）。
  • 正偏态：右尾长，均值 > 中位数 > 众数。
  • 负偏态：左尾长，均值 < 中位数 < 众数。

正态分布示例：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 生成正态分布数据
xs = np.linspace(-6, 6, 300)
normal = stats.norm.pdf(xs, loc=0, scale=2)  # 均值0，标准差2
plt.plot(xs, normal)
plt.title("正态分布（对称）")
plt.show()

1.2 偏度公式

偏度衡量分布的不对称性，公式为：

$$ \text{Skewness} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( \frac{X_i - \mu}{\sigma} \right)^3 $$

其中 μ为均值，σ为标准差。

偏态分布示例：

# 生成偏态数据
xs2 = np.linspace(0.01, 0.99, 100)
lognormal = stats.lognorm.pdf(xs2, s=0.7)

plt.plot(xs2, lognormal, label='正偏态（右偏）')
plt.plot(xs2, lognormal[::-1], label='负偏态（左偏）')
plt.legend()
plt.title("偏态分布对比")
plt.show()

1.3 实际数据中的偏度

使用标普500收益率分析偏度：

import yfinance as yf

# 下载标普500历史数据
start = '2012-01-01'
end = '2015-01-01'
data = yf.download('SPY', start=start, end=end)
prices = data['Close']
returns = prices.pct_change().dropna()

# 计算偏度、均值、中位数
from scipy import stats
print(f"偏度: {stats.skew(returns):.4f}")
print(f"均值: {returns.mean():.6f}")
print(f"中位数: {returns.median():.6f}")

# 绘制收益率直方图
plt.hist(returns, bins=30)
plt.title("标普500收益率分布")
plt.show()

2. 峰度（Kurtosis）