一、基本概念

1.1 假设检验框架

假设检验是统计推断的核心工具，用于判断样本数据是否支持某个原假设 (Null Hypothesis, H₀)。典型设定：

• 已知样本 $X_1,...,X_n \stackrel{iid}{\sim} N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma$ 已知
• 原假设 $H_0: \mu = \mu_0$
• 备择假设 $H_1: \mu = \mu_1$（或 $\mu > \mu_0$, $\mu \neq \mu_0$ 等）

1.2 两类错误

• 第一类错误 (Type I Error)：错误拒绝真原假设，概率记为 $\alpha$
• 第二类错误 (Type II Error)：错误接受假原假设，概率记为 $\beta$
• 检验功效 (Power)：正确拒绝假原假设的概率，即 $1-\beta$

$$ \begin{cases} \text{Size} = \alpha = P_{H_0}(\text{Reject } H_0) \\ \text{Power} = 1-\beta = P_{H_1}(\text{Reject } H_0) \end{cases} $$

二、单尾检验 | One-Tailed Test

2.1 检验设定

• $H_0: \mu = \mu_0$ vs $H_1: \mu > \mu_0$
• 使用样本均值 $\bar{X}$ 作为检验统计量

2.2 拒绝域的确定

在 $H_0$ 下，$\bar{X} \sim N\left(\mu_0, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，标准化后：

$$ Z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)  $$

给定显著性水平 $\alpha$，临界值 $c$ 满足：