<aside> 💡

查看全集：微积分/Calculus

</aside>

一阶常微分方程基础

分离变量法

适用于形如 $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ 的方程

解法步骤：

1. 分离变量：$\frac{1}{g(y)}dy = f(x)dx$
2. 两边积分：$\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C$

例题：

求解 $\frac{dy}{dx} = xy^2$

解：

$$ \begin{align*} \frac{1}{y^2} dy &= x dx \\ \int y^{-2} dy &= \int x dx \\ -y^{-1} &= \frac{1}{2}x^2 + C \\ y &= -\frac{1}{\frac{1}{2}x^2 + C} \end{align*} $$

学习建议：

• 特别注意当$g(y)=0$时的特解（奇异解）
• 积分后注意检查对数函数的定义域

齐次方程

当方程可表示为 $\frac{dy}{dx} = F(\frac{y}{x})$时

解法步骤：

1. 令 $z = \frac{y}{x}$，则 $y = xz$
2. 代入方程：$x\frac{dz}{dx} + z = F(z)$
3. 分离变量后积分