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设 $S = \{ \mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_n \}$ 和 $T = \{ \mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n \}$ 是 n 维向量空间 V 的两个基，则从 S 到 T 的过渡矩阵 P 由下式唯一确定：
$$ (\mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_n) = (\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n)P $$
其中 P 的列向量为 $[\mathbf{u}_1]_T,...,[\mathbf{u}_n]_T$。
坐标转换公式：对任意向量 $\mathbf{w}$，有
$$ [\mathbf{w}]_T = P[\mathbf{w}]_S $$
考虑 xy 坐标系绕原点逆时针旋转 θ 角得到 x'y' 坐标系的情况：
$$ P = \begin{pmatrix} \cosθ & -\sinθ \\ \sinθ & \cosθ \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{pmatrix} \cosθ & \sinθ \\ -\sinθ & \cosθ \end{pmatrix} $$
例：θ = 60° 时：
$P = \begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}$
点 P 在 xy 系的坐标 (2,1) 转换为 x'y' 系坐标为：
$P^{-1}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+\sqrt{3}/2 \\ 1/2-\sqrt{3} \end{pmatrix}$
线性变换 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 的标准矩阵 A 满足：
$$ T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\x_n\end{pmatrix} $$
构造方法：计算标准基向量的像
$$ A = [T(\mathbf{e}_1)\ |\ T(\mathbf{e}_2)\ |\ \cdots\ |\ T(\mathbf{e}_n)] $$