泰勒定理：
f(x) = f(a) + f'(a)(x−a) + f''(a)(x−a)²/2! + ... + f⁽ⁿ⁾(a)(x−a)ⁿ/n! + Rₙ
Rₙ = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x−a)ⁿ⁺¹/(n+1)! （c在x与a之间）
泰勒级数：当 Rₙ→0 时，
f(x) = Σ_{n=0}^∞ [f⁽ⁿ⁾(a)/n!] (x−a)ⁿ
| 函数 | 导数 | 条件 |
|---|---|---|
tan⁻¹ f(x) |
f'(x)/(1+[f(x)]²) |
|
sec⁻¹ f(x) |
`f'(x)/( | f(x) |
a^{f(x)} |
ln a · f'(x) a^{f(x)} |
a>0 |
logₐ f(x) |
f'(x)/(f(x) ln a) |
f(x)>0 |
乘积型函数：y = Π fᵢ(x) → ln|y| = Σ ln|fᵢ(x)|
dy/dx = y · Σ [fᵢ'(x)/fᵢ(x)]
幂指函数：y = f(x)^{g(x)} → ln y = g(x) ln f(x)
dy/dx = y · [g'(x) ln f(x) + g(x) f'(x)/f(x)]
| 函数 | 积分结果 | 条件 |
|---|---|---|
tan x |
`ln | sec x |
1/(x²+a²) |
(1/a) tan⁻¹(x/a) + C |
a≠0 |
√(a²−x²) |
sin⁻¹(x/a) + C |
` |
aˣ |
aˣ/ln a + C |
a>0, a≠1 |
(x+a)^k：分解为 A₁/(x+a) + A₂/(x+a)² + ...(x²+bx+c)^r：分解为 (B₁x+C₁)/(x²+bx+c) + ...√(a²−x²) → 令 x = a sinθ√(x²+a²) → 令 x = a tanθ√(x²−a²) → 令 x = a secθt = tan(x/2) ⇒ sinx = 2t/(1+t²), cosx = (1−t²)/(1+t²)