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01. 函数与极限 (Functions & Limits)

• 极限法则
  1. limₓ→ₐ [f±g](x) = L ± L'
  2. limₓ→ₐ [f·g](x) = L·L'
  3. limₓ→ₐ (f/g)(x) = L/L' （若 L'≠0）
  4. limₓ→ₐ kf(x) = kL （k 为常数）

02. 微分法 (Differentiation)

• 极值条件

  • f'(x) = 0 或 f'(x) 不存在
  • 定义域端点

• 参数方程求导

  • 二阶导数：d²y/dx² = d/dx (dy/dx) = [d/dt (dy/dx)] / (dx/dt)

• 导数公式表

  函数	导数
  tan x	sec²x
  csc x	−csc x cot x
  a^{f(x)}	ln a · f'(x) a^{f(x)}
  sin⁻¹ f(x)	f'(x)/√(1−[f(x)]²) （`

• 洛必达法则

  • 适用于 0/0 或 ∞/∞ 型未定式
  • 幂指函数：先取自然对数再应用法则

03. 积分法 (Integration)

• 积分公式表

  函数	积分结果
  tan x	`ln
  1/(x²+a²)	(1/a) tan⁻¹(x/a)
  √(a²−x²)	sin⁻¹(x/a) （`

• 积分技巧

  • 换元法：∫ₐᵇ f(g(x)) g'(x) dx = ∫_{g(a)}^{g(b)} f(u) du
  • 分部积分：∫u dv = uv − ∫v du

• 旋转体体积

  • 绕x轴：V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² − [g(x)]² dx
  • 绕直线 y=k：V = π ∫ₐᵇ [f(x)−k]² dx

04. 级数 (Series)

• 几何级数
  • 发散和：S = a(1−rⁿ)/(1−r)
  • 收敛和（|r|<1）：S = a/(1−r)
• 幂级数与泰勒展开
  • 泰勒级数：f(x) = Σ_{k=0}^∞ [f⁽ᵏ⁾(a)/k!] (x−a)ᵏ
  • 麦克劳林级数（a=0）：f(x) = Σ_{n=0}^∞ [f⁽ⁿ⁾(0)/n!] xⁿ