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1. 线性方程组与解集（Linear Systems and Solution Sets ）

• 通解形式：解集表示为参数化向量，如 {(1 + s, 2s, s) | s ∈ ℝ}
• 解的判定：
  • 相容性条件：增广矩阵 [A | b] 的秩等于系数矩阵 A 的秩。
  • 齐次方程 Ax=0 的解空间维度：nullity(A) = n - rank(A)。

2. 矩阵运算与性质（Matrix Operations and Properties）

• 逆矩阵：
  • 若 AB = I，则 B = A⁻¹ 且 A = B⁻¹。
  • 逆的性质：(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹，(cA)⁻¹ = 1/c A⁻¹。
• 行列式：
  • det(A) ≠ 0 ⇨ 矩阵可逆。
  • 行变换影响：交换行 det → -det，倍乘行 det → k·det，倍加行 det 不变。
  • 乘积性质：det(AB) = det(A)det(B)。

3. 向量空间与子空间（Vector Spaces and Subspaces）

• 子空间条件：
  • 包含零向量，且对线性组合封闭（例如 span(S)）。
• 基底与维度：
  • 极大无关组为基底，dim(ℝⁿ) = n。
  • 若 dim(U) = dim(V)，则子空间 U = V。

4. 线性变换与矩阵表示（Linear Transformations and Matrix Representation）

• 定义：线性变换 T: V → W 满足 T(cx + dy) = cT(x) + dT(y)。
• 秩-零化度定理：
  • rank(T) + nullity(T) = dim(V)。