Probability Cheatsheet v2.0.pdf

1. 条件思维
   • 独立性定义与等价条件
   • 全概率公式（LOTP）及其条件化扩展
   • 贝叶斯规则与条件化形式
   • 条件独立性
2. 集合运算与概率关系
   • 德摩根定律
   • 联合概率、边缘概率与条件概率
   • 交集与并集的概率计算（链式法则、容斥原理）
3. 随机变量与分布
   • 离散随机变量
     • PMF（概率质量函数）
     • CDF（累积分布函数）
     • 独立性定义
   • 连续随机变量
     • PDF（概率密度函数）
     • CDF与PDF关系
     • 均匀分布的普适性（UoU）
   • 期望与线性性
   • 方差与标准差
   • 矩与矩生成函数（MGF）
4. 联合分布与协方差
   • 联合PDF/PMF与边缘分布
   • 条件分布与贝叶斯规则
   • 协方差、相关系数与性质
   • 多元LOTUS（随机变量函数的期望）
5. 变换与卷积
   • 单变量变换（Jacobian方法）
   • 多变量变换（雅可比矩阵）
   • 独立随机变量和的卷积
6. 经典概率分布
   • 离散分布
     • 伯努利、二项式、几何、负二项式
     • 超几何、泊松
   • 连续分布
     • 均匀、正态、指数、伽马、贝塔
     • 对数正态、卡方、t分布
   • 多元分布（多项分布、多元正态）
7. 极限定理与收敛
   • 大数定律（LLN）
   • 中心极限定理（CLT）
   • 渐进分布与近似
8. 马尔可夫链
   • 状态分类（常返、瞬态、周期性）
   • 转移矩阵与平稳分布
   • 可逆性与细致平衡条件
9. 不等式与公式工具
   • 柯西-施瓦茨、马尔可夫、切比雪夫不等式
   • 詹森不等式
   • 几何级数、斯特林公式、欧拉调和级数近似
10. 问题解决策略
    • 概率计算技巧（对称性、条件化）
    • 分布识别与性质应用
    • 期望与方差的计算路径
11. 附录
    • R语言分布命令速查
    • 分布表（PMF/PDF、期望、方差、MGF）
    • 推荐资源与常见误区

文档特点：

• 覆盖概率论核心概念，从基础定义到高级主题（如马尔可夫链、多元分布）。
• 强调实用工具（如MGF、LOTUS）与经典分布性质。
• 提供问题解决框架与常见错误警示（如独立性误用、非线性期望陷阱）。